ФЭНДОМ


Контрольная работа №1 по линейной алгебре (2 семестр) Править

Вариант 1 Править

  1. Составить систему однородных линейных уравнений, задающую линейную оболочку векторов $ a_1=(2, -4, 3, -1)^t $, $ a_2=(1,1,-2,3)^t $, $ a_3=(5,-1,-3,8)^t $ в $ {\mathbb R}^4 $.
  2. Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств $ V_1 $, $ V_2 $ в $ {\mathbb R}^4 $, где $ V_1=\langle a_1, a_2, a_3 \rangle $, $ a_1=(-1,3,-3,3)^t $, $ a_2=(-5,4,-2,3)^t $, $ a_3=(-7,10,-8,9)^t $, а $ V_2 $ - подпространство решений системы $ \left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}2x_1&+&6x_2&+&2x_3&-&x_4&=&0\\x_1&+&&&4x_3&-&5x_4&=&0\end{array}\right. $
  3. Линейный оператор $ \varphi $ в $ {\mathbb R}^2 $ отображает векторы $ a_1=(3,2)^t $, $ a_2=(4,3)^t $ соответственно в векторы $ b_1=(3,-1)^t $, $ b_2=(2,5)^t $/ Записать матрицу этого оператора в базисе, в котором даны координаты векторов.
  4. Линейный оператор $ A $ в базисе $ v:v_1=(4,3)^t,v_2=(1,1)^t $ имеет матрицу $ A_v=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&3\end{pmatrix} $, линейный оператор $ B $ в базисе $ u:u_1=(2,-1)^t,u_2=(-1,1)^t $ имеет матрицу $ B_v=\begin{pmatrix}-2&4\\3&2\end{pmatrix} $. Вычислить матрицу оператора $ A^{-1}B $ в базисе, в котором даны координаты всех векторов.
  5. Найти жорданову форму матрицы $ \begin{Vmatrix}-1&2&-4&3\\-1&1&-1&1\\-1&1&-2&2\\-1&1&-2&2\end{Vmatrix} $ и соответствующий базис
  6. Вычислить матрицы $ \sqrt{A} $, $ \exp{A} $, где $ A=\begin{Vmatrix}5&-2\\-2&8\end{Vmatrix} $