ФЭНДОМ


CледствиеПравить

  1. Характеристический многочлен делится на минимальный
  2. Если \lambda - корень \chi_A(t) (характеристический многочлен), то \lambda - корень \mu_A(t) (минимальный многочлен)

Доказательство: 1 - по определению + теорема Гамильтона 2 - пусть \lambda_1,...,\lambda_m - все комплексные корни минимального многочлена \mu_A(t). Предположим, что \lambda - корень \chi_A(t). Тогда \exists v:Av=\lambda v. При этом \mu_A(t)=(t-\lambda_1)^{k_1}...(t-\lambda_n)^{k_n} и \mu_a(A)v=(A-\lambda_1\epsilon)^{k_1}...(A-\lambda_m\epsilon)^{k_m}. Так как (A-\lambda_i\epsilon)v=(\lambda-\lambda_i)v\ne0, то \mu_A(A)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}...(\lambda-\lambda_m)^{k_m}. С другой стороны \mu_A(A)=0, а следовательно \mu_A(A)v=0, т.е. \lambda - один из корней \lambda_1,...,\lambda_n \square

Жорданова нормальная форма Править

F=\mathbb C

Корневое подпространствоПравить

Пусть А - оператор на V, \lambda - собственное значение A.

ОпределениеПравить

V(\lambda)=\{v\in V|\exists k\geq1\;(A-\lambda\epsilon)^kv=0\} - корневое подпространство

СвойстваПравить

  1. V(\lambda):V^\lambda=\{v|Av=\lambda v\}\subseteq V(\lambda)
  2. V(\lambda)\ne0 для любого собственного значения \lambda

Лемма 1Править

Пусть \lambda, \mu_1,...,(1\mu_k - различные собственные значения A. Тогда V(\lambda)\wedge\sum_{i=1}^{k}V(\mu_i)=\{0\}

доказательство Пусть (18). Если (19), то (20), где (21). Тогда существует m, t_1,...,t_k>=1 такие, что (22),(23). Обозначим (24), (25). Пусть h(x)=f_1,...,f_k. Тогда НОД(f,h)=1 и (26). Поэтому (27), (28). Кроме того (29). Мы получили: (30). Значит, если u лежит в v((1)), то он равен нулю. (11)

Нильпотентные операторыПравить

ОпределениеПравить

Оператор B:V->V называется нильпотентным, если (31) для некоторого (32)

Лемма 1Править

Пусть (33). Если B - нильпотентный оператор на V, то B^n=0


Доказательство Пусть f(t) - минимальный многочлен для B. Тогда (34) и f делит (35) (11)

Лемма 2Править

Пусть (1) - собственное значение оператора A:V->V. Тогда V((1)) - инвариантное подпространство (т.е. (36)) и (37) действует на V((1)) нильпотентно Доказательство 1. Инвариантность. Пусть (38). Докажем, что (39), т.е. (40). Ясно что (41). Поэтому, если (42), то (43) 2. Нильпотентность. Пусть v_1,...,v_m - базис V((1)) и (44). Если взять (45), то (46)(11)

Разложение в сумму корневых подпространствПравить

Теорема 1Править

Пусть (47) - его характеристический многочлен. Тогда выполняются:

  1. (48) - прямая сумма
  2. Все V((1)_i) инвариантны относительно действия A.
  3. (49) действует на (50) нильпотентно
  4. (51)
  5. Единственнмы собственным значением A на V((1)_i) является (1)_i

Доказательство 1. Рассмотрим (52). Тогда многочлены f_1,...,f_k взаимно просты и (53). Возьмем произвольный вектор (54). Тогда (55). При этом (56), где (57). Т.е. (58). То, что сумма корневых подпространств - прямая, уже было доказано (48) 2.3. Тоже было доказано

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики