ФЭНДОМ


CледствиеПравить

  1. Характеристический многочлен делится на минимальный
  2. Если $ \lambda $ - корень $ \chi_A(t) $ (характеристический многочлен), то $ \lambda $ - корень $ \mu_A(t) $ (минимальный многочлен)

Доказательство: 1 - по определению + теорема Гамильтона 2 - пусть $ \lambda_1,...,\lambda_m $ - все комплексные корни минимального многочлена $ \mu_A(t) $. Предположим, что $ \lambda $ - корень $ \chi_A(t) $. Тогда $ \exists v:Av=\lambda v $. При этом $ \mu_A(t)=(t-\lambda_1)^{k_1}...(t-\lambda_n)^{k_n} $ и $ \mu_a(A)v=(A-\lambda_1\epsilon)^{k_1}...(A-\lambda_m\epsilon)^{k_m} $. Так как $ (A-\lambda_i\epsilon)v=(\lambda-\lambda_i)v\ne0 $, то $ \mu_A(A)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}...(\lambda-\lambda_m)^{k_m} $. С другой стороны $ \mu_A(A)=0 $, а следовательно $ \mu_A(A)v=0 $, т.е. $ \lambda $ - один из корней $ \lambda_1,...,\lambda_n $ $ \square $

Жорданова нормальная форма Править

$ F=\mathbb C $

Корневое подпространствоПравить

Пусть А - оператор на V, $ \lambda $ - собственное значение A.

ОпределениеПравить

$ V(\lambda)=\{v\in V|\exists k\geq1\;(A-\lambda\epsilon)^kv=0\} $ - корневое подпространство

СвойстваПравить

  1. $ V(\lambda):V^\lambda=\{v|Av=\lambda v\}\subseteq V(\lambda) $
  2. $ V(\lambda)\ne0 $ для любого собственного значения $ \lambda $

Лемма 1Править

Пусть $ \lambda $, $ \mu_1,...,(1\mu_k $ - различные собственные значения A. Тогда $ V(\lambda)\wedge\sum_{i=1}^{k}V(\mu_i)=\{0\} $

доказательство Пусть (18). Если (19), то (20), где (21). Тогда существует m, t_1,...,t_k>=1 такие, что (22),(23). Обозначим (24), (25). Пусть h(x)=f_1,...,f_k. Тогда НОД(f,h)=1 и (26). Поэтому (27), (28). Кроме того (29). Мы получили: (30). Значит, если u лежит в v((1)), то он равен нулю. (11)

Нильпотентные операторыПравить

ОпределениеПравить

Оператор B:V->V называется нильпотентным, если (31) для некоторого (32)

Лемма 1Править

Пусть (33). Если B - нильпотентный оператор на V, то B^n=0


Доказательство Пусть f(t) - минимальный многочлен для B. Тогда (34) и f делит (35) (11)

Лемма 2Править

Пусть (1) - собственное значение оператора A:V->V. Тогда V((1)) - инвариантное подпространство (т.е. (36)) и (37) действует на V((1)) нильпотентно Доказательство 1. Инвариантность. Пусть (38). Докажем, что (39), т.е. (40). Ясно что (41). Поэтому, если (42), то (43) 2. Нильпотентность. Пусть v_1,...,v_m - базис V((1)) и (44). Если взять (45), то (46)(11)

Разложение в сумму корневых подпространствПравить

Теорема 1Править

Пусть (47) - его характеристический многочлен. Тогда выполняются:

  1. (48) - прямая сумма
  2. Все V((1)_i) инвариантны относительно действия A.
  3. (49) действует на (50) нильпотентно
  4. (51)
  5. Единственнмы собственным значением A на V((1)_i) является (1)_i

Доказательство 1. Рассмотрим (52). Тогда многочлены f_1,...,f_k взаимно просты и (53). Возьмем произвольный вектор (54). Тогда (55). При этом (56), где (57). Т.е. (58). То, что сумма корневых подпространств - прямая, уже было доказано (48) 2.3. Тоже было доказано